تبیین ریاضی انتقادی مفاهیم کمال-محور و تکامل-محور: تمایز میان میدان برداری و تابع پتانسیل
در ریاضیات، مبحثی به نام «فضای برداری» و «نظریه پتانسیل» وجود دارد. یک میدان برداری میتواند گرادیان یک پتانسیل باشد، اما در عین حال میتواند چنین نباشد. به بیانی دیگر، گرادیان یک تابع (خواه تابع هدف، کاست فانکشن، فیتنس، تابع پتانسیل یا تابع اولیه و انتگرالپذیر باشد) همیشه یک میدان برداری است؛ اما همیشه به ازای یک میدان برداری، یک تابع پتانسیل وجود ندارد که گرادیانش آن میدان باشد. (نباید میدان برداری را با فضای برداری اشتباه گرفت).
میدان برداری پدیدهای شبیه به خطوط میدان مغناطیسی یا الکتریکی است که به ازای هر نقطه در فضای حالات ممکن، یک بردار و جهت یکتا و منحصربهفرد را تعیین و تبیین میکند. این شق دوم—یعنی اینکه لزوما هر میدان برداری دارای یک پتانسیل نیست—نکته بسیار مهمی است که معمولاً مورد غفلت قرار میگیرد.
ارتباط ابسترکت ریاضی با نظریه تکامل و مفاهیم فرگشت
یکی از کاربردهای این بحث در نظریه تکامل (فرگشت) و مفهوم «فیتنس» (شایستگی) نمایان میشود. در حقیقت، فیتنس یک تابع از پیشموجود نیست. سوای اینکه دسترسی به آن ممکن است یا خیر، حتی خوشتعریف بودن آن از نظر ریاضی نیز اهمیتی ندارد؛ چرا که تکامل به آن احتیاجی ندارد. در مقابل، فضای برداریِ جهتِ تکامل در هر لحظه را میتوان یک آبجکت ریاضی خوشتعریف دانست.
در فرگشت، حتی اگر نقطه ایدهآلی وجود داشته باشد یا در حالتی ضعیفتر، اگر تابع پتانسیلی برای آن خوشتعریف نباشد، باز هم میتوان قائل به پروسه فرگشت (سابقا: تکامل) بود. مفهوم اصلی، وجود یک «میدان برداری» است که در هر حالت موجود و فعلی، مشخص میکند موجود مورد نظر در چه جهتی به سمت فیتنس حرکت میکند؛ حتی اگر خود تابع فیتنس خوشتعریف نباشد.
این فرضی است که داروین (یا مفسرانش) نیز به آن دچار شدهاند. البته این یک اشتباه مطلق نیست، اما فرض بر این بوده که یک تابع یا مفهوم فیتنس وجود دارد و خوشتعریف است. در این استعاره، معمولاً بهطور اتوماتیک و نادرست فرض میشود که بهینه گلوبال (سراسری) یکه است و بهینههای لوکال (موضعی) متعدد وجود ندارند که این مسئله به مفهوم کوژ بودن (Convexity) نیز مربوط میشود. اینها خصوصیات مختلفی در ریاضیات هستند که در هر بحثی پیرامون فرگشت، تکامل، و حتی تکامل در معنای حرکت به سمت کمال، آرمانشهر و امکان وجود موجود اوپتیمال (بهینه) ، ارمان فرد، ابر من، و این این دست، مفاهیمی کلیدی واقع میشوند؛ ولی چون صرفاً در ریاضیات محض بررسی میشوند، معمولاً در بیرون از این رشته مورد غفلت قرار میگیرند.
ریشه کلمه فیتنس (Fitness) در زبان انگلیسی و فرهنگ عامیانه به معنای تناسب (مثلاً Fit\ for\ work یا اصطلاحاً افراد خوشتیپ و متناسب) است (لزوماً منظور از آن بدنسازی نیست). در کانوتیشن های ظریف آن، به معنای قابل رقابت با نظابر است، پس نسبی است. اما در تکامل و فرگشت، کافی است یک یا چند جهت وجود داشته باشد که سمت بهبود موجود را در رقابت با بقیه نشان دهد؛ یعنی همان جهت مماس که یک خاصیت یا موجود لوکال (موضعی) در فضای حالت است. در اصطلاح ریاضی، یک هندسه وجود دارد و در فضای لوکال آن، یک میدان برداری (Vector Field) تعریف میشود که این موضوع به مفاهیم منیفولد (خمینه) و متریک نیز مرتبط است.
تفکیک وابستگیها در نظریههای ساختاری و آرمانشهری
در یک نظریه منسجم، لازم نیست فرض شود که ایدهآل و آرمانشهر حتماً باید وجود داشته باشند یا قابل طرح باشند تا سیستم کار کند. ممکن است آرمانشهر یا انسان آرمانی ممکن یا ناممکن باشد، اما این مسئله در اصلِ کارکرد تفاوتی ایجاد نمیکند. ارائه لیستی از خصوصیات که تکالیف را مشخص کند، از نظر علمی و ریاضی کاملاً خوشتعریف و ممکن است؛ زیرا این ساختار از نظر ریاضی موجودی شبیه به فضای برداری است.
این ساختار بهطور لوکال به هر عاملی در هر جای هندسه این خمینه یا لندسکیپِ وضعیت (فضای حالت)، نشان میدهد که چه جهت یا جهتهایی رو به بهبود هستند. افراد با تصمیم لوکال، شخصی و ارجاع به «من» و «اکنون» میتوانند به یک قاعده هیوریستیک (اکتشافی) تجویزی یا سِـنسی از آن دست یابند. از این بابت، این رویکرد نوعی قاعده سرانگشتی (Rule\ of\ thumb) یا هیوریستیک (Heuristic) است. به عبارتی، از نظر ریاضی نیازی به توسل به آرمانشهر یا اَبَرانسان نیست. آن مفاهیم جایگاه خود را دارند، اما وابستگی (Dependency) مفاهیم از یکدیگر جدا میشود؛ پدیدهای که در مهندسی مدرن نرمافزار به آن مدیریت وابستگی (Dependency\ management) میگویند.
در حال حاضر، برخی منتقدان به خاطر استفاده از کلمات «آرمانشهر» و «ابرانسان»، ابزارهای روایی ای که طی قرنها صیقل دادهاند، برای انتقاد به کار میگیرند. پس این نکته که یک میدان برداری لزوماً تابع پتانسیل ندارد، یک نقطه محوری است.
. (میدان برداری با فضای برداری متفاوت است؛ به عنوان مثال، خطوط میدان مغناطیسی یک میدان برداری بدون قله و دارای قطب است، اگرچه حالات دیگری مانند پریودیک اوربیت و دیگر اترکتورها نیز ممکن است).
وقتی نظریه ای داده میشود، گاهی میتوان آن را به ادعا های کوچکتری تقسیم کرد. این، فقط ساده سازی یا بهبود نیست. آن را در برابر انتقاد ها و محک ها، روباست تر میکند-چنانچه ظریفیت ان را داشته باشد، ارزشهای احتمالی اش، مشخص تر خواهد شد.
بدون این تفکیک، منتقدان، نظریهپرداز را مجبور به پاسخگویی یا اثبات دو یا یه ادعای همزمان خواهند کرد، در حالی که ممکن است ساختار اصلی نظریه به آن احتیاجی نداشته باشد. مثلا آرمانشهر یا آرمان-من میتواند یک مرحله اضافه باشد یا اصلاً نباشد.یا ممکن است یکتا نباشد. یا خودش پارامترهایی و نتغیر هی حالت ایمپلیسیت داشته باشد. چنانچه سازگاری یک فریمورک با نظر به چنین اصول ریاضی انجام شود، عاملی مثبتی برای تابآوری چارچوبهای نظری است. - اگر در خور آن باشد. اگر نظریه ای غلط یا اشتباه باشد، با این کار، قوی تر نمیشود، و متلاشی هم میشود. پس این خودش، یک محک نقد برلی آن تبدیل میشود: قوی و صحیح را محکم تر، و ضعیف و کم محتوا را، ضیفتر میکند. و سمت و سوی شفاف فکر کردن را هم راهنمایی میکند. علت های عمیقتری هم دارد که در صورت لزوم، خواهم نوشت. این بخشی از یک چارچوب بزرگتر است.
هدف، شرح تفاوت بین میدان برداری و تابع پتانسیل نبود. بلکه هدف، بیان تمایزشان بود. درباره جغرافیای مفاهیم است، تا محتوای داخل آنها. چرا که بحث مربوطه، از جنس ریاضی بوده ومفصل است (درباره وجود، یکه بودن، دوطرفه بودن، ساختنی بودن، دسترسی، محاسبه پذیر بودن، تقریب، امکان، تجزیه به مراتب ش، محدود کردن (تحدید) هایش و اکستنشن (توسعه) هایش.
توجه به این نکات که بیشتر مربوط به نحوه پرزنتیشن (ارائه) است تا محتوا. در بدترین حالت، کمک میکند چارچوبهای نظری در برابر انتقادات و حملهها روباستتر (مقاومتر) شوند. برای افرادی که علاقه به استعارهای جنگجویانه دارند (که شامل اینجانب نیست)، میتپان گفت که این بحث بیشتر مربوط به لایه زره و سپر است تا محتوای درونی. بیشتر بیان لایه ای برای استفاده برای گفتمان پاپ و عامه است (غیر ریاضیدان ها).
ابزاری دیگر، در جعبه ابزار بیانی و تحلیلی (موشکافی) برای توانافزایی و ارزش افزوده در تحلیلهای پیچیده.
پ.ن.
هیچ نظری موجود نیست:
ارسال یک نظر